Question

已知：如图，直线y=-

3

x+4

3

与x轴相交于点A，与直线y=

3

x相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）请判断△OPA的形状并说明理由；
（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动（E不与点O，A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．
求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由两直线相交可列出方程组，求出P点坐标；
（2）将y=0代入y=-

3

x+4

3

，可求出OA=4，作PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2

3

，利用tan∠POA=

3

，可知∠POA=60°，由OP=4．可知△POA是等边三角形；
（3）①当0＜t≤4时，在Rt△EOF中，∠EOF=60°，OE=t，则EF=

3

2

t，OF=

1

2

t，则S=

1

2

•OF•EF=

3

8

t²；
②当4＜t＜8时，如图，设EB与OP相交于点C，易知：CE=PE=t-4，AE=8-t，可得AF=4-

1

2

t，EF=

3

2

（8-t），有OF=OA-AF=4-（4-

1

2

t）=

1

2

t，S=

1

2

（CE+OF）•EF=-

3

8

3

t²+4

3

t-8

3

．

解答：解：（1）由题意可得：

y=- 3 x+4 3 y= 3 x

，
解得

x=2 y=2 3

，
所以点P的坐标为（2，2

3

）；

（2）将y=0代入y=-

3

x+4

3

，-

3

x+4

3

=0，
∴x=4，即OA=4，
作PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2

3

，
∵tan∠POA=

2 3

2

=

3

，
∴∠POA=60°，
∵OP=

22+(2 3 )2

=4，
∴△POA是等边三角形；

（3）①当0＜t≤4时，如图，在Rt△EOF中，
∵∠EOF=60°，OE=t，
∴EF=

3

2

t，OF=

1

2

t，
∴S=

1

2

•OF•EF=

3

8

t²．
当4＜t＜8时，如图，设EB与OP相交于点C，
∵CE=PE=t-4，AE=8-t，
∴AF=4-

1

2

t，EF=

3

2

（8-t），
∴OF=OA-AF=4-（4-

1

2

t）=

1

2

t，
∴S=

1

2

（CE+OF）•EF=

1

2

（t-4+

1

2

t）×

3

2

（8-t），
=-

3

8

3

t²+4

3

t-8

3

；
②当0＜t≤4时，S=

3

8

t2，t=4时，S_最大=2

3

；
当4＜t＜8时，S=-

3

8

3

t²+4

3

t-8

3

=-

3

8

3

（t-

16

3

）²+

8

3

3

，
t=

16

3

时，S_最大=

8

3

3

．
∵

8

3

3

＞2

3

，
∴当t=

16

3

时，S最大，最大值为

8

3

3

．

点评：把动点问题与三角形的性质相结合，增加了难度，在解答时要注意t在三个取值范围内的情况，不要漏解．