Question

如图：直线y=-

2

3

x+4m（常数m＞0）交x轴于A点、交y轴于B点，四边形AOBC是以OA、OB为边的梯形，OA∥BC．将梯形AOBC逆时针旋转90°到A₁OB₁C₁，连接B₁C交y轴于D．（如图）
（1）请指出A₁、B₁的坐标．（用含m的代数式表示）
（2）当A₁DB₁C₁为平行四边形时，求C点的坐标．（用含m的代数式表示）
（3）若抛物线y=ax²+bx+c在（2）的条件下过A、B、C三点且与线段B₁C另一交点为E，连接A₁E，求：S_△A1DE：S_{四边形AOBC}的值．

Answer 1

分析：（1）令y=0求出x的值，得到点A的坐标，令x=0，求出y的值得到点B的坐标，再根据旋转的性质即可得到点A₁、B₁的坐标；
（2）设BC=x，根据旋转变换的性质可得B₁C₁=x，再根据平行四边形的对边相等可得A₁D=x，然后求出△BCD和△B₁OD相似，根据相似三角形对应边成比例列式用x表示出BD，再根据A₁D=A₁B+BD，代入数据得到关于x的方程，解方程即可得到点C的坐标；
（3）利用待定系数法求函数解析式，分别求出直线B₁C与抛物线的解析式，然后联立求出点E的坐标，再根据三角形的面积公式求出△A₁DE的面积，利用梯形的面积公式求出四边形AOBC的面积，然后相比即可得解．

解答：解：（1）令y=0，则-

2

3

x+4m=0，解得x=6m，
令x=0，则y=4m，
所以，点A（6m，0），B（0，4m），
∵梯形AOBC逆时针旋转90°到A₁OB₁C₁，
∴OA₁=0A=6m，OB₁=OB=4m，
∴A₁（0，6m），B₁（-4m，0）；

（2）设BC=x，根据旋转的性质，B₁C₁=x，
∵四边形A₁DB₁C₁为平行四边形，
∴A₁D=B₁C₁=x，
∵OA∥BC，
∴△BCD∽△B₁OD，
∴

BC

OB1

=

BD

OD

，
即

x

4m

=

BD

6m-x

，
解得BD=

x(6m-x)

4m

，
又∵A₁D=A₁B+BD，
∴x=（6m-4m）+

x(6m-x)

4m

，
整理得，x²-2mx-8m²=0，
解得x₁=-2m，x₂=4m，
∵常数m＞0，
∴x=4m，
即BC=4m，
∴C点坐标为（4m，4m）；

（3）设直线B₁C解析式为y=kx+b，
∵B₁（-4m，0），C（4m，4m），
∴

-4mk+b=0 4mk+b=4m

，
解得

k= 1 2 b=2m

，
∴直线B₁C：y=

1

2

x+2m，
∵A（6m，0），B（0，4m），C（4m，4m），
∴

36m2a+6mb+c=0 c=4m 16m2a+4mb+c=4m

，
解得

a=- 1 3m b= 4 3 c=4m

，
∴抛物线解析式为y=-

1

3m

x²+

4

3

x+4m，
联立

y= 1 2 x+2m y=- 1 3m x2+ 4 3 x=4m

，
解得

x1=- 3 2 m y1= 5 4 m

，

x2=4m y2=4m

（为点C坐标），
∴点E坐标为（-

3

2

m，

5

4

m），
∴S_△A1DE=

1

2

×4m•

3

2

m=3m²，S_{四边形AOBC}=

1

2

（4m+6m）×4m=20m²，
∴S_△A1DE：S_{四边形AOBC}=（3m²）：（20m²）=

3

20

．

点评：本题是二次函数的综合题型，主要利用了直线与坐标轴的交点的求解，旋转变换的性质，平行四边形的对边相等的性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式（直线解析式与抛物线解析式），以及联立两函数解析式求交点坐标，综合性较强，本题最大特点是计算过程始终含有常数字母m，使得运算变得较为复杂且容易出错，计算时要仔细认真，避免出错．