题目内容
在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．对角线AC和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转．（1）如图1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系是______，数量关系是______；
（2）继续旋转三角板，旋转角为α．请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，若
，求PE的长．
【答案】分析：（1）作AM⊥DC，垂足为点M，解直角△ADM可求DM，从而可知CD长，CD=CB，CE=CF，可证△CDE≌△BCF，利用对应边相等，对应角相等，互余关系得出垂直、相等的关系；
（2）画出图形，围绕证明△CDE≌△BCF，寻找条件，仿照（1）的方法进行证明；
（3）用勾股定理求AC、BD，用相似求AO、OC、OB，已知
，可求CF、CE，证明△CPE∽△COB，利用相似比求PE．
解答：
解：（1）垂直，相等．
画图如右图（答案不唯一）
（2）（1）中结论仍成立．
证明如下：
过A作AM⊥DC于M，
则四边形ABCM为矩形．
∴AM=BC=2，MC=AB=1．
∵DC=2，
∴
．
∴DC=BC．
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=90°，CE=CF．
∵∠BCD=∠ECF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
在△DCE和△BCF中，
，
∴△DCE≌△BCF，
∴DE=BF，∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴∠5=∠BCD=90°，
∴DE⊥BF，
∴线段DE和BF相等并且互相垂直．
（3）∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴
，
∵AB=1，CD=2，
∴
，
在Rt△ABC中，
，
∴
，
同理可求得
，
∵
，
∴
，
∴
．
∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠OBC=45°，
由（2）知△DCE≌△BCF，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠OBC=45°
∴△CPE∽△COB，
∴
，
∴
，
∴
．
点评：本题运用了旋转的观点解决相似三角形、全等三角形的问题，并运用勾股定理求线段的长．
（2）画出图形，围绕证明△CDE≌△BCF，寻找条件，仿照（1）的方法进行证明；
（3）用勾股定理求AC、BD，用相似求AO、OC、OB，已知
，可求CF、CE，证明△CPE∽△COB，利用相似比求PE．解答：
解：（1）垂直，相等．画图如右图（答案不唯一）
（2）（1）中结论仍成立．
证明如下：
过A作AM⊥DC于M，
则四边形ABCM为矩形．
∴AM=BC=2，MC=AB=1．
∵DC=2，
∴
．∴DC=BC．
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=90°，CE=CF．
∵∠BCD=∠ECF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
在△DCE和△BCF中，
，∴△DCE≌△BCF，
∴DE=BF，∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴∠5=∠BCD=90°，
∴DE⊥BF，
∴线段DE和BF相等并且互相垂直．
（3）∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴
，∵AB=1，CD=2，
∴
，在Rt△ABC中，
，∴
，同理可求得
，∵
，∴
，∴
．∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠OBC=45°，
由（2）知△DCE≌△BCF，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠OBC=45°
∴△CPE∽△COB，
∴
，∴
，∴
．点评：本题运用了旋转的观点解决相似三角形、全等三角形的问题，并运用勾股定理求线段的长．
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