Question

19．如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC=4OA；
（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；
（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作PM∥BC交射线AC于点M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据OA与OC的关系，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据锐角三角函数，可得PH的长，根据相似三角形的性质，可得MC的长，根据三角形的面积，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵C（0，4），O（0，0），
∴OC=4．
∵OC=4OA，
∴OA=1．
∵点A在x轴的负半轴上，
∴A（-1，0）．
设这条抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过点 A（-1，0），B（3，0），C（0，4）
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{3}\\ b=\frac{8}{3}\\ c=4\end{array}\right.$，
∴这条抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4，
它的顶点坐标为（1，$\frac{16}{3}$）；
（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H．


∵P点在x轴的正半轴上，
∴设P（x，0）．
∵A（-1，0），
∴PA=x+1．
∵在Rt△AOC中，OA²+OC²=AC²
又∵OA=1，OC=4，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵∠AOC=90°，
∴sin∠CAO=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{4}{\sqrt{17}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$
∵∠PHA=90°，
∴sin∠CAO=$\frac{PH}{AP}$=$\frac{PH}{x+1}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$
∴PH=$\frac{4\sqrt{17}（x+1）}{17}$．
∵PM∥BC，
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{CM}{AC}$
∵B（3，0），P（x，0）
①点P在点B的左侧时，BP=3-x
∴$\frac{3-x}{4}$=$\frac{CM}{\sqrt{17}}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{17}（3-x）}{4}$．
∵S_△PCM=2，
∴$\frac{1}{2}$CM•PH=2，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{17}（3-x）}{4}$•$\frac{4\sqrt{17}（x+1）}{17}$=2．
解得x=1．
∴P（1，0）；
②点P在点B的右侧时，BP=x-3
∴$\frac{x-3}{4}$=$\frac{CM}{\sqrt{17}}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{17}（3-x）}{4}$，
∵S_△PCM=2，
∴$\frac{1}{2}$CM•PH=2，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{17}（3-x）}{4}$•$\frac{4\sqrt{17}（x+1）}{17}$=2．
解得x₁=1+2$\sqrt{2}$，x₂=1-2$\sqrt{2}$（不合题意，舍去）
∴P（$1+2\sqrt{2}$，0）．
综上所述，P的坐标为（1，0）或（$1+2\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用锐角三角函数得出PH的长是解题关键，又利用相似三角形的性质得出CM的长，利用三角形的面积得出关于x的方程．