Question

已知：在△ACB中，∠ACB=90°，M是AB中点，MD⊥AB交AC于E，交BC的延长线于D，求证：AB²=4ME•MD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：作出图形，易证∠A=∠D，再根据∠AME=∠DMB=90°即可证明△AME∽△DME，可得

AM

ME

=

DM

BM

，整理得：AM•BM=ME•MD，再根据AM=BM=

1

2

AB，即可解题．

解答：证明：作出图形，

∵∠A+∠AEM=90°，∠D+∠DEC=90°，∠DEC=∠AEM，
∴∠A=∠D，
∵∠AME=∠DMB=90°，
∴△AME∽△DME，
∴

AM

ME

=

DM

BM

，
∴AM•BM=ME•MD，
∵M是AB中点，
∴AM=BM=

1

2

AB，
∴

1

4

AB²=ME•MD，
∴AB²=4ME•MD．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△AME∽△DME是解题的关键．