Question

2．已知函数y₁=$\frac{2}{3}$x+2的图象分别与坐标轴相交于A，B两点（如图所示），与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象相交于C点．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，如果OB是△ACD的中位线，求反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的关系式；
（3）根据图象（x＞0）直接写出y₁＞y₂时的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别令一次函数解析式中x=0、y=0求出y、x的值，从而得出点A、B的坐标；
（2）由A、B点的坐标结合中位线的性质，找出线段OD、DC的长度，从而找出点C的坐标，再由点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的系数k，从而得出结论；
（3）观察函数图象，根据两函数图象的上下关系结合交点的坐标，即可得出结论．

解答 解：（1）令一次函数y₁=$\frac{2}{3}$x+2中x=0，则y=2，
∴点B的坐标为（0，2）；
令一次函数y₁=$\frac{2}{3}$x+2中y=0，则$\frac{2}{3}$x+2=0，
解得：x=-3，
∴点A的坐标为（-3，0）．
（2）∵OB是△ACD的中位线，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{OB}{DC}$，
∵点A（-3，0），点B（0，2），
∴AD=6，DC=4，OD=AD-AO=6-3=3，
∴点C的坐标为（3，4）．
又∵点C在反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=3×4=12，
∴反比例函数解析式为y₂=$\frac{12}{x}$（x＞0）．
（3）观察函数图象，发现：
当x＞3时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式y₁＞y₂时的取值范围为x＞3．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形中位线的性质，解题的关键是：（1）分别代入x=0、y=0求B、A点坐标；（2）求出点C的坐标；（3）根据函数图象的上下位置关系解决不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例系数k是关键．