Question

12．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D在△ABC外，且点D在AC的垂直平分线上，连接BD，BD与AC相交于点E，若∠DBC=30°，∠ACD=11°，则∠A=71度．

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形和垂直平分线，证明Rt△DNC和Rt△DMC（HL），得∠DCM=∠DCN=11°，求出∠AEB的度数，所以∠ACB=68°-30°=38°，则根据等腰三角形可求出∠A的度数．

解答 解：过C作CM⊥BD，交BD的延长线于M，过D作DN⊥AC于N，
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DN是AC的垂直平分线，
∴NC=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=BC，
∴NC=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△BMC中，∠DBC=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$BC，
∴CM=CN，
在Rt△DNC和Rt△DMC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{CN=CM}\end{array}\right.$，
∴Rt△DNC和Rt△DMC（HL），
∴∠DCM=∠DCN=11°，
∴∠AEB=∠CEM=180°-∠M-∠NCM=180°-22°-90°=68°，
∵∠AEB=∠DBC+∠ACB，
∴∠ACB=68°-30°=38°，
∴∠BAC=$\frac{180°-38°}{2}$=71°，
即∠A=71°．
故答案为：71．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，明确线段垂直平分线是经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，同时要熟知等腰三角形的两个底角相等，与三角形内角和相结合，又利用了全等三角形的对应角相等，求出角的度数．