Question

4．观察下面由“※”组成的图案（如图）及算式，解答下列问题：
1+3=2²，1+3+5=3²；1+3+5+7=4²；1+3+5+7+9=5²．
（1）根据规律，猜想1+3+5+7+9+…+19=100；
（2）根据规律：猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=（n+2）²；
（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2011+2013．

Answer 1

分析 （1）根据给定等式的变化，即可得出1+3+5+7+9+…+19的值；
（2）根据给定等式的变化，即可得出变化规律“1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=$（\frac{2n+3+1}{2}）^{2}$=（n+2）²”，依次规律即可得出结论；
（3）根据（2）的结论，即可得出1001+1003+1005+…+2011+2013=$（\frac{2013+1}{2}）^{2}$-$（\frac{999+1}{2}）^{2}$，此题得解．

解答 解：（1）∵1+3=2²=$（\frac{3+1}{2}）^{2}$，1+3+5=3²=$（\frac{5+1}{2}）^{2}$，1+3+5+7=4²=$（\frac{7+1}{2}）^{2}$，1+3+5+7+9=5²=$（\frac{9+1}{2}）^{2}$，
∴1+3+5+7+9+…+19=$（\frac{19+1}{2}）^{2}$=100．
（2）∵1+3=2²=$（\frac{3+1}{2}）^{2}$，1+3+5=3²=$（\frac{5+1}{2}）^{2}$，1+3+5+7=4²=$（\frac{7+1}{2}）^{2}$，1+3+5+7+9=5²=$（\frac{9+1}{2}）^{2}$，…，
∴1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=$（\frac{2n+3+1}{2}）^{2}$=（n+2）²．
（3）1001+1003+1005+…+2011+2013=（1+3+5+…+2013）-（1+3+5+…+999）=$（\frac{2013+1}{2}）^{2}$-$（\frac{999+1}{2}）^{2}$=764049．

点评 本题考查了规律型中数字的变化，根据等式的变化找出变化规律是解题的关键．