题目内容

如图，平面直角坐标系中O为坐标原点，直线y= $数学公式$ x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为OA中点；
（1）求直线BC解析式；
（2）动点P从O出发以每秒2个单位长度的速度沿线段OA向终点A运动，同时动点Q从C出发沿线段CB以每秒 $数学公式$ 个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作QM∥AB交x轴于点M，若线段PM的长为y，点P运动时间为t（s），求y于t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，以PC为直径作⊙N，求t为何值时直线QM与⊙N相切．

解：（1）∵y= $\text{[math]}$ x+6，
∴x=0时，y=6；y=0时，x=-8，
∴B（0，6），A（-8，0），
∵C为OA中点，
∴C（-4，0），
设BC：y=kx+b，
∴-4k+b=0，b=6，
∴k= $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ x+6；

（2）∵QM∥AB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CM=t，
∴-4-x_M=t，
∴x_M=-4-t，
∵x_P=-2t，
∴0＜t＜4＜时，PM=x_P-x_M=-2t-（-4-t）=-t+4，
∴y=-t+4（0＜t＜4）；

（3）过N点作NH⊥MQ交直线MQ于H点．
∵N为PC的中点，
∴x_N= $\text{[math]}$ =-2-t，
∴MN=-2-t-（-4-t）=2，
∵MQ∥AB，
∴∠QMC=∠BAO，
∴sin∠QMC=sin∠BAO= $\text{[math]}$ ，
∴NH=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵PC=|-2t+4|，
∴|-2t+4|=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得，t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ ．
综上，t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ 时，直线QM与⊙N相切．
分析：（1）先根据直线y= $\text{[math]}$ x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点求出AB两点的坐标，再由点C是OB的中点求出C点坐标，利用待定系数法及可求出直线BC的解析式；
（2）由QM∥AB可知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再由点Q从C出发沿线段CB以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向终点B运动可知CQ= $\text{[math]}$ 可用t表示出CM的长，再由C（-4，0）可知-4-x_M=t，再由x_P=-2t，PM=x_P-x_M=-2t-（-4-t）即可得出结论；
（3）过N点作NH⊥MQ交直线MQ于H点，根据N为PC的中点可知x_N= $\text{[math]}$ =-2-t，故可得出MN的长，再根据MQ∥AB可知∠QMC=∠BAO，由sin∠QMC=sin∠BAO= $\text{[math]}$ 可知NH=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以PC=|-2t+4|，由此即可得出结论．
点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、平行线分线段成比例定理及锐角三角函数的定义等知识，难度适中．