Question

5．如图，点D是△ABC的AB边上一点，且AB=6，BD=4，AC=2$\sqrt{3}$．
（1）求证：△ACD∽△ABC．
（2）若BC=9，求CD的值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$、$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$知$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，结合∠A=∠A可得；
（2）由△ACD∽△ABC知$\frac{CD}{BC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{CD}{9}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$，解之可得．

解答 解：（1）∵AB=6，BD=4，AC=2$\sqrt{3}$，
∴AD=AB-BD=6-4=2，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC；

（2）∵△ACD∽△ABC，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{CD}{9}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$，
解得：CD=3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．