Question

如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB，ED，BD，延长BE交AD于点F，DF²=EF•BF．
（1）求证：DE平分∠ADB；
（2）求tan∠BEC的值．

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由条件可得△FED∽△FDB，可证得∠FDE=∠FBD，又由正方形的对称性可得BE=DE，可得∠EBD=∠EDB，可得出结论；
（2）设对角线AC和BD交于点O，在Rt△EBO中可表示出tan∠BEC，再利用角平分线的性质得到AE和EO的比例关系，从而求出EO和BO的比，得出结论．

解答：（1）证明：∵DF²=EF．BF，
∴DF：BF=EF：DF，∠EFD=∠BFD，
∴△FED∽△FDB，
∴∠FDE=∠FBD，
又∵E在对角线AC上，由正方形的对称性可得EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∴∠FDE=∠EDB，
∴DE平分∠ADB；
（2）解：设AC、BD交于点O，
∵DE平分∠ADB，
∴

EO

AE

=

OD

AD

=

1

2

，
∴

EO

AE+EO

=

1

1+ 2

=

2

-1，
即

EO

AO

=

2

-1，
在Rt△BOE中，tan∠BEC=

EO

BO

=

EO

AO

=

2

-1．

点评：本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，在（1）中注意正方形对称性的运用，在（2）中利用角平分线的性质是解题的关键．