Question

18．用两个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形和一个腰长为c的等腰直角三角形拼成如图1所示的形状，得到一个直角梯形．
（1）可以用两种不同的方法求图1所示直角梯形的面积．方法一：S_梯形=$\frac{1}{2}$（a+b）•（a+b）；方法二：S_梯形=2×$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²．请直接写出a、b、c之间的等量关系；
（2）已知如图2所示在Rt△ABC中，两直角边a、b满足a-b=1，斜边c=5，求△ABC的面积和周长；
（3）如图3，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，D为BC上一点，将Rt△ABC沿AD折叠，点C恰好落在AB边上的E点，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据方法一和二所列的梯形的面积相等列式可得a、b、c之间的等量关系；
（2）先由勾股定理得：a²+b²=c²=25①，将a-b=1两边同时平方得：a²-2ab+b²=1②，两式可得：ab=12，可以求三角形ABC的面积，由a+b=$\sqrt{（a+b）^{2}}$可得a+b的值，可以计算三角形ABC的周长；
（3）由折叠得：DC=DE，∠DEA=∠C=90°，AE=AC=6，设BD=x，在Rt△BDE中，由勾股定理列方程可得结论．

解答 解：（1）∵S_梯形=$\frac{1}{2}$（a+b）•（a+b），S_梯形=2×$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²，
∴$\frac{1}{2}$（a+b）•（a+b）=2×$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²，
（a+b）²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²；
（2）如图2，由勾股定理得：a²+b²=c²=25①，
∵a-b=1，
∴a²-2ab+b²=1②，
把①代入②得：25-2ab=1，
ab=12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×12=6，
∵a+b=$\sqrt{（a+b）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}$=$\sqrt{25+2×12}$=7，
∴△ABC的周长=7+5=12；
（3）如图3，由折叠得：DC=DE，∠DEA=∠C=90°，AE=AC=6，
设BD=x，则CD=DE=8-x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：x²=4²+（8-x）²，
x=5，
∴BD=5．

点评 本题考查了完全平方公式、勾股定理的证明和运用、三角形面积、折叠的性质，熟练掌握利用面积法证明勾股定理，本题难度适中．