Question

如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC=3

2

，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF．
（1）求证：△AED≌△AEF；
（2）若BE=2，求DE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠FAE=45°，即可证明△AED≌△AEF，即可解题；
（2）易证∠BAF=∠CAD，即可证明△ABF≌△ACD，可得∠ABF=∠C=45°，CD=BF，再根据（1）中结论可得EF=DE，根据BF²+BE²=EF²和DE+CD=4，即可求得EF的长，即可解题．

解答：（1）证明：∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．
在△AED与△AEF中，

AD=AF ∠DAE=∠FAE=45° AE=AE

，
∴△AED≌△AEF（SAS）；
（2）解：∵∠BAC=90°，AB=AC=3

2

，
∴BC=6，∠ABC=∠C=45°，
∵∠BAC=∠DAF=90°，∠BAD+∠BAF=∠DAF，∠BAD+∠CAD=∠BAC，
∴∠BAF=∠CAD，
在△ABF和△ACD中，

AF=AD ∠BAF=∠CAD AB=AC

，
∴△ABF≌△ACD，（SAS）
∴∠ABF=∠C=45°，CD=BF，
∴∠EBF=90°，
∵△AED≌△AEF，
∴EF=DE，
∵BF²+BE²=EF²，DE+CD=EF+BF=BC-BE=4，
∴DE=EF=

5

2

，BF=

3

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AED≌△AEF和△ABF≌△ACD是解题的关键．