Question

已知抛物线y=ax²-4ax+c经过点A（0，2），顶点B的纵坐标为3．将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C、D，与抛物线的一个交点为P，若D是线段CP的中点，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：根据A的坐标和顶点B的纵坐标，先求得抛物线的解析式和顶点B的坐标，然后根据A、B的坐标求得直线AB的解析式，进而设出直线PC的解析式y=

1

2

x+b，因为D是线段CP的中点，得出P的纵坐标=2b，P的横坐标等于OC=2b，然后根据以上等式求得b的值，即可求得P的坐标；

解答：解：∵抛物线y=ax²-4ax+c经过点A（0，2），
∴c=2，
∵y=ax²-4ax+2=a（x-2）²-4a+2，顶点B的纵坐标为3，
∴a=-

1

4

，抛物线的顶点B坐标为：（2，3），
∴抛物线的解析式为：y=-

1

4

x²+x+2，直线AB的解析式为：y=

1

2

x+2，
∵直线PC的斜率为

1

2

，
设直线PC的解析式为：y=

1

2

x+b，
∵D是线段CP的中点，
∴P的纵坐标为2b，
代入得横坐标x=2b，
∴P（2b，2b）
∴2b=-

1

4

x²+x+2，解得：x=2+2

3-2b

，x=2-2

3-2b

，
∴2+2

3-2b

=2b，2-2

3-2b

=2b，
整理得：b²=2，
∴b=

2

，b=-

2

，
∴P的坐标为（2

2

，2

2

）或（-2

2

，-2

2

）；

点评：本题考查了待定系数法的应用，三角形中位线的性质以及平行线的性质等，本题是二次函数的综合题，根据题意找出交点的特点是本题的关键；