Question

已知，如图，矩形ABCD中，E是CD的中点，连接BE并延长BE交AD的延长线于点F，连接AE．

（1）求证：AD=DF；

（2）若AD=3，AE⊥BE，求AB的长．

Answer 1

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）根据E是CD的中点，BC∥AF可确定EF=EB，从而得出△EBC≌△EFD，继而得出结论．

（2）由（1）得出的EF=EB，结合AE⊥BE可得AB=AF，从而根据AD=3可得出答案．

【解答】解：（1）∵BC∥AF，E是CD的中点，

∴E是线段FB的中点，

∴FE=EB，

又∠FED=∠BEC，DE=EC，

∴△EBC≌△EFD，

∴AD=DF．

 

（2）由（1）得：EF=EB，

又AE⊥BE，

∴AB=AF（中垂线的性质）

∴AB=AF=2AD=6．

【点评】本题考查了矩形的性质及勾股定理的知识，有一定的难度，解答本题的关键是根据题意得出E是FB的中点，这是本题的突破口．