Question

如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，求证：BC+AD＞AB+CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形三边关系

专题：证明题

分析：在OD上截取OB'=OB，在OC上截取OC'=OA，连接C'B'，DC'，CB'，设CB'，DC'交于点E，易证△ABO≌△C'B'O可得AB=B'C'，易证△DOA≌△DOC'可得AD=DC'，易证△COB≌△COB'可得BC=B'C，根据三角形三边关系即可求得CB'+DC'＞AB+CD即可解题．

解答：解：在OD上截取OB'=OB，在OC上截取OC'=OA，连接C'B'，DC'，CB'，设CB'，DC'交于点E（如图），

在△ABO和△C'B'O中，

OC′=OA ∠AOB=∠C′OB′ OB′=OB

，
∴△ABO≌△C'B'O（SAS），
∴AB=B'C'，
在△DOA和△DOC'中，

OA=OC′ ∠AOD=∠C′OD OD=OD

，
∴△DOA≌△DOC'（SAS），
∴AD=DC'，
在△COB和△COB'中，

BO=B′O ∠BOC=∠B′OC CO=CO

，
∴△COB≌△COB'（SAS），
∴BC=B'C，
∵在△B'C'E中，B'E+C'E＞B'C'，①
在△CDE中，CE+DE＞CD，②
①+②得：CE+C'E+DE+B'E＞B'C'+CD，
∴CB'+DC'＞AB+CD，
∴BC+AD＞AB+CD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证三对三角形全等是解题的关键．