Question

如图，已知在正方形ABCD网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，E是边DC上的一个网格的格点．
（1）的值是______；
（2）按要求画图：在BC边长找出格点F，连接AF，使AF⊥BE；
（3）在（2）的条件下，连接EF，求cos∠AFE的值．（结果保留根式）

Answer 1

解：（1）根据勾股定理，EB==5，
所以，=；

（2）取BF=CE，
∵在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴∠BAF=∠CBE，
∵∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠BAF+∠ABE=90°，
设AF、BE相交于G，则∠AGB=180°-（∠BAF+∠ABE）=180°-90°=90°，
∴AF⊥BE；

（3）根据勾股定理，AF==5，
∵AF⊥BE，∠ABC=90°，
∴△BGF∽△ABF，
∴=，
即=，
解得FG=，
根据勾股定理，EF==，
∴cos∠AFE===．
故答案为：．
分析：（1）利用勾股定理列式求出BE的长，然后求出比值即可；
（2）根据正方形的性质，取BF=CE即可；
（3）利用勾股定理列式求出AF，再利用相似三角形对应边成比例求出FG，再利用勾股定理列式求出EF，然后根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式计算即可得解．
点评：本题考查了应用与设计作图，主要利用了正方形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及锐角三角函数，难点在于准确确定出点F的位置．