Question

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）BC=；BF=．

试题分析：（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得线段的长即可．
试题解析：（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF，∴∠CBF+∠2=90°，即∠ABF=90°，∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．
（2）过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==，∴sin∠2==，cos∠2==，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴，∴BF=．