Question

如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA＝4，PA＝4．

求：（1）∠POA的度数；
（2）弦AB的长；
（3）阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

（1）60°；（2）；（3）.

试题分析：（1）由切线的性质得直角三角形OAP，应用正切函数即可求得∠POA的度数；（2）根据对称的性质，应用垂径定理和余弦函数即可求得弦AB的长；（3）根据转换思想疳阴影面积转化为求解即可.
试题解析：（1）∵PA切圆与A，∴OA⊥PA.
又∵OA＝4，PA＝， ∴. ∴∠POA = 60°.
（2）设AB与OP的交点为D，
∵点B与点A关于直线PO对称，∴AD=BD.
∵OC为半径，AD=BD，∴OC⊥AB. ∴∠OAD=90°－∠AOD=30°.
∴。∴AB=2AD=.
（3）∵，，
∴阴影面积=.