Question

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC．

（1）若∠CPA=30°，求PC的长；
（2）探究：当点P在AB的延长线上运动时，是否总存在∠PCB=∠CAB？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)PC=cm;(2)存在，理由详见解析.

试题分析：（1）连接OC,由切线的性质得OC⊥PC,然后根据三角函数定义可求PC的值；（2）由切线的性质得∠OCB+∠PCB=90°,因为AB是圆的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得∠A+∠ABC=90°,根据等角的余角相等，可知∠PCB=∠CAB.归纳：连接圆心与切点之间的半径是常见的辅助线.
试题解析：（1）连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，
∴在Rt△PCO中，tan∠CPA=，
又∠CPA=30°，AB=6cm，
∴（cm），
（2）存在．证明如下：
∵PC为⊙O的切线，
∴∠PCO=∠OCB+∠PCB=90°
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠PCB+∠OCB=∠CAB+∠ABC=90°
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠PCB=∠CAB．