Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°．O是AC的中点，过点A、C的直线L绕点O按逆时针方向旋α角，交边AB于点D，作CE∥AB交直线L于点E．当∠α=90°时，判断四边形EDBC是否菱形，并说明理由．

Answer 1

考点：菱形的判定,旋转的性质

专题：

分析：根据∠α=∠ACB=90°先证明四边形EDBC是平行四边形．再利用Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2求得AB，AC，AO的长度；在Rt△AOD中，∠A=30°，AD=2，可求BD，比较得BD=BC，可证明四边形EDBC是菱形．

解答：解：当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．
∵∠α=∠ACB=90°，
∴BC∥ED，
∵CE∥AB，
∴四边形EDBC是平行四边形．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，设BC=2t，
∴∠A=30°，
∴AB=4t，AC=2

3

t，
∴AO=

1

2

AC=

3

t．
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=

1

2

AD，
AD=

OA2+OD2

=

( 3 )2+ 1 2 (AD)2

，
∴AD=2t，
∴BD=2t，
∴BD=BC．
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形．

点评：此题考查了菱形的判定勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．