Question

11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足$\frac{CF}{DF}=\frac{1}{3}$，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=3，AF=4．
（1）求证：△ADF∽△AED；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠E的值．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理可知，∠ADF=∠AED，又因为∵∠FAD=∠DAE，从而可知△ADF∽△AED；
（2）由题意可求出DF的长度为9，从而可求出CD的长度为12，由垂径定理可知：CG=DG=6，所以FG=CG-CF=3；
（3）由勾股定理可求出AG的长度，由圆周角定理可知∠E=∠ADF，从而可求出tan∠E的值．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE
∴△ADF∽△AED；
（2）∵$\frac{CF}{DF}=\frac{1}{3}$，CF=3，
∴DF=9，
∴CD=CF+DF=12，
∴CG=DG=6，
∴FG=CG-CF=3，
（3）∵AF=4，FG=3，
∴AG=$\sqrt{A{F^2}-F{G^2}}=\sqrt{7}$，
由（1）可知：∠E=∠ADF，
∴tanE=$tan∠ADF=\frac{AG}{DG}=\frac{{\sqrt{7}}}{6}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定，锐角三角函数，本题综合考查学生灵活运用知识的能力．