Question

【题目】若二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且过点C (3，﹣2)．

（1）求二次函数表达式；

（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝5，求点P的坐标；

（3）在AB下方的抛物线上是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，点M到y轴的距离为

【解析】

(1)由待定系数法可求解析式；

(2)设直线BP与x轴交于点E，过点P作PD⊥OA于D，设点P(a，a2-a-2)，则PD=a2-a-2，利用参数求出BP解析式，可求点E坐标，由三角形面积公式可求a，即可得点P坐标；

(3)如图2，延长BM到N，使BN=BO，连接ON交AB于H，过点H作HF⊥AO于F，由全等三角形的性质和锐角三角函数求出点N坐标，求出BN解析式，可求点M坐标，即可求解．

(1)∵二次函数y=ax2+bx-2的图象过点A(4，0)，点C (3，-2)，

∴，

解得：

∴二次函数表达式为：；

(2)设直线BP与x轴交于点E，过点P作PD⊥OA于D，

设点P(a，a2-a-2)，则PD=a2-a-2，

∵二次函数与y轴交于点B，

∴点B(0，-2)，

设BP解析式为：，

∴a2-a-2=ka﹣2，

∴，

∴BP解析式为：y=()x﹣2，

∴y=0时，，

∴点E(，0)，

∵S△PBA=5，

∵S△PBA=,

∴，

∴a=-1(不合题意舍去)，a=5，

∴点P(5，3)；

(3)如图2，延长BM到N，使BN=BO，连接ON交AB于H，过点H作HF⊥AO于F，

∵BN=BO，∠ABO=∠ABM，AB=AB，

∴△ABO≌△ABN(SAS)

∴AO=AN，且BN=BO，

∴AB垂直平分ON，

∴OH=HN，AB⊥ON，

∵AO=4，BO=2，

∴AB=，

∵S△AOB=×OA×OB=×AB×OH，

∴OH=，

∴AH=，

∵cos∠BAO=，

∴，

∴AF=，

∴HF=，

OF=AO﹣AF= 4﹣=，

∴点H(，-)，

∵OH=HN，

∴点N(，﹣)

设直线BN解析式为：y=mx﹣2，

∴﹣=m﹣2，

∴m=﹣，

∴直线BN解析式为：y=﹣x﹣2，

∴x2﹣x﹣2=﹣x﹣2，

∴x=0(不合题意舍去)，x=，

∴点M坐标(，﹣)，

∴点M到y轴的距离为．