Question

5．如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=$\frac{1}{2}$BC，连接OE．下列结论：
①OB=AB； ②OE=$\frac{1}{4}$BC；③S_?ABCD=AB•AC； ④∠CAD=30°．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由?ABCD中，∠ADC=60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB=$\frac{1}{2}$BC，证得∠CAD=30°；继而证得AC⊥AB，得②S_?ABCD=AB•AC；可得OE是三角形的中位线，证得OE=$\frac{1}{4}$BC；即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故④正确；
∵AC⊥AB，
∴S_?ABCD=AB•AC，故③正确，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，OB=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故①错误；
∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴AE=CE，
∴BE=CE，∵OA=OC，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴OE=$\frac{1}{4}$BC．故②正确．
故选：C．

点评 此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．