Question

已知如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD²+CD²=2AB²
（1）求证：AB=BC；
（2）过B作BF∥AC交CD的延长线于F，连EF，求证：AE=CF+EF．

Answer 1

分析：（1）由CD⊥AD，根据勾股定理得到AD²+CD²=AC²，而AD²+CD²=2AB²，则有AC²=2AB²，由∠ABC=90°，根据勾股定理得到AB²+BC²=AC²，则2AB²=AB²+BC²，即可得到结论；
（2）过B点作BH⊥AC于H，交AE于G点，由AB=AC，∠ABC=90°得到△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠3=∠4=∠5=45°，利用等角的余角相等
∠AGH=∠2+∠3，根据三角形外角性质有∠1=∠2；根据BF∥AC得∠6=∠3=45°，则∠4=∠6，然后根据三角形全等的判定方法可证得△ABG≌△CBF（ASA），
则AG=CF，BG=BF；也可证△BGE≌△BFE（SAS），则GE=EF，这样易得到结论．

解答：（1）证明：∵CD⊥AD，
∴∠ADC=90°，
∴AD²+CD²=AC²，
而AD²+CD²=2AB²，
∴AC²=2AB²，
∵∠ABC=90°，
∴AB²+BC²=AC²，
∴2AB²=AB²+BC²，
∴AB=BC；

（2）证明：过B点作BH⊥AC于H，交AE于G点，如图，
∵AB=AC，∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠3=∠4=∠5=45°，
∵∠AGH+∠GAH=90°，∠2+∠3+∠CAD=90°，
∴∠AGH=∠2+∠3，
而∠AGH=∠1+∠4，
∴∠1=∠2；
∵BF∥AC，
∴∠6=∠3=45°，
∴∠4=∠6，
∵在△ABG和△CBF中，

∠1=∠2 AB=CB ∠4=∠6

，
∴△ABG≌△CBF（ASA），
∴AG=CF，BG=BF，
∵在△BGE和△BFE中，

BG=BF ∠5=∠6 BE=BE

，
∴△BGE≌△BFE（SAS），
∴GE=EF，
而AE=AG+GE，
∴AE=CF+EF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角对应相等，且它们所夹的边相等，那么这两个三角形全等；有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理．