Question

16．我们定义：在平面直角坐标系中，过点P分别作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，若矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是平面直角坐标系中的靓点．
（1）判断点C（1，3），D（-4，4）是不是平面直角坐标系中的靓点，并说明理由；
（2）若平面直角坐标系中的一个靓点Q（m，3）恰好在一次函数y=-x+b（b为常数）的图象上，求m、b的值；
（3）过点E（-2，0），且平行于y轴的直线上有靓点吗？有，求出来；没有，说明理由．

Answer 1

分析 （1）计算1×3≠2×（1+3），4×4=2×（4+4）即可；
（2）当m＞0时，根据（m+3）×2=3m，求出m，进一步求出b；当m＜0时，根据（-m+3）×2=-3m求出m进一步求出b；
（3）设靓点是（-2，n），然后分成n＞0和n＜0两种情况进行讨论，根据靓点的定义求解．

解答 解：（1）∵1×3≠2×（1+3），4×4=2×（4+4），
∴点C不是和靓点，点D是靓点．

（2）由题意得：①当m＞0时，（m+3）×2=3m，
∴m=6，
点P（m，3）在直线 y=-x+b上，代入得：b=9；
②当m＜0时，（-m+3）×2=-3m，
∴m=-6，
点P（m，3）在直线y=-x+b上，代入得：b=-3，
∴m=6，b=9；或m=-6，b=-3；

（3）设存在靓点是（-2，n），
当n＞0时，2n=2（2+n），
无解；
当n＜0时，-2n=2（2-n），此时无解．
故过点E（-2，0），且平行于y轴的直线上没有靓点．

点评 本题考查了一次函数的图象，理解靓点的定义，正确读懂题目是关键．