Question

9．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程两根a，b满足a²+b²-ab=13，求k的值；
（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可得到结论；
（3）先利用公式法求出方程的解为x₁=k，x₂=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．

解答 解：（1）∵△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）∵a，b为方程两根∴a+b=2k+1，ab=k²+k，
∴a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=（2k+1）²-3（k²+k）=13，
解得k₁=-4，k₂=3；

（3）解：一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的解为x=$\frac{2k+1±\sqrt{1}}{2}$，即x₁=k，x₂=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
综合上述，k的值为5或4．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．