Question

4．已知关于x的方程x²-2（k+1）x+k²+2k-1=0…①
（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；
（2）如果a是关于y的方程y²-（x₁+x₂-2k）y+（x₁-k）（x₂-k）=0…②的根，其中x₁，x₂是方程①的两个实数根，求代数式（$\frac{a}{a+1}$-1）÷$\frac{4}{{a}^{2}+2a+1}$•$\frac{a-1}{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）求出判别式△的值，即可得出答案；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=k²+2k-1，求出x₁+x₂-2k=2，（x₁-k）（x₂-k）=-1，求出方程②，求出a²-2a-1=0，即可得出答案．

解答 （1）证明：△=[-2（k+1）]²-4×1×（k²+2k-1）=8＞0，
所以对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵x₁，x₂是方程①的两个实数根，
∴x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=k²+2k-1，
∴x₁+x₂-2k=2（k+1）-2k=2，（x₁-k）（x₂-k）=x₁•x₂-（x₁+x₂）k+k²=k²+2k-1-（2k+2）k+k²=-1，
方程②为y²-2y-1=0，
∵a是关于y的方程y²-（x₁+x₂-2k）y+（x₁-k）（x₂-k）=0…②的根，
∴a²-2a-1=0，
∴a²-1=2a，
∴（$\frac{a}{a+1}$-1）÷$\frac{4}{{a}^{2}+2a+1}$•$\frac{a-1}{a}$
=$\frac{-1}{a+1}$•$\frac{（a+1）^{2}}{4}$•$\frac{a-1}{a}$
=-$\frac{{a}^{2}-1}{4a}$
=-$\frac{-2a}{4a}$=$\frac{1}{2}$

点评 本题考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，能熟记知识点是解此题的关键，注意：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．