Question

17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1=∠BAD；
（2）求证：BE⊥DC．

Answer 1

分析 （1）由弦BD=BA，可得∠BAD=∠BDA，又由圆周角定理可得∠1=∠ADB，继而证得结论；
（2）首先连接OB，由BE是⊙O的切线，可得OB⊥BE，又由∠1=∠OBC=∠BDA=∠BAD，易得∠BOC=∠ACD，继而证得OB∥CD，则可证得结论．

解答 证明：（1）∵弦BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠1=∠BDA，
∴∠1=∠BAD；

（2）连接OB，
∵BE是⊙O的切线，
∴OB⊥BE，
∵OB=OC，
∴∠1=∠OBC，
∴∠1=∠OBC=∠BDA=∠BAD，
∴∠BOC=∠ABD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠BOC=∠ACD，
∴OB∥CD，
∴BE⊥CD．

点评 此题考查了切线的性质以及圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．