Question

如图，线段AD=5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD，AD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC，设AB=x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，则x=

 

；
（3）设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值．

Answer 1

分析：（1）由AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，可得BC=BD=5-x，又由，⊙A的半径为1，根据三角形三边关系，即可求得x的取值范围；
（2）分别从若AB是斜边与BC是斜边去分析，利用勾股定理的知识，借助于方程即可求得x的值；
（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，设CF=h，AF=m，则W=（

1

2

xh）²=

1

4

x²h²，由AC²-AF²=BC²-BF²，则1-m²=（5-x）²-（x-m）²，分别从2.4＜x＜3时与2＜x≤2.4去分析，即可求得答案．

解答：解：（1）∵AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，
∴BC=BD=5-x，在△ABC中，AC=1，
∴（5-x）-1＜x＜1+（5-x），
解得：2＜x＜3；

（2）∵△ABC为直角三角形，
若AB是斜边，则AB²=AC²+BC²，
即x²=（5-x）²+1，
∴x=2.6；
若BC是斜边，则BC²=AB²+AC²，
即（5-x）²=x²+1，
∴x=2.4．
故答案为：2.4或2.6．

（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，
设CF=h，AF=m，则W=（

1

2

xh）²=

1

4

x²h²，
①如图，当2.4＜x＜3时，AC²-AF²=BC²-BF²，则1-m²=（5-x）²-（x-m）²，
得：m=

5x-12

x

，
∴h²=1-m²=

-24x2+120x-144

x2

，
∴W=

1

4

x²h²=-6x²+30x-36，
即W=-6（x-

5

2

）²+

3

2

，
当x=2.5时（满足2.4＜x＜3），W取最大值1.5；
②当2＜x≤2.4时，同理可得：W=-6x²+30x-36=-6（x-

5

2

）²+

3

2

，
当x=2.4时，W取最大值1.44＜1.5，
综合①②得，W的最大值为1.5．

点评：此题考查了三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想的应用．