Question

直线y=x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点E从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BO向O点移动（不考虑点E与B、O两点重合的情况），过点E作EF∥AB，交x轴于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠后，与点A对应的点记作点C，与点B对应的点记作点D，得到四边形CDEF，设点E的运动时间为t秒．

（1）画出当t=2时，四边形ABEF沿直线EF折叠后的四边形CDEF（不写画法）；

（2）在点E运动过程中，CD交x轴于点G，交y轴于点H，试探究t为何值时，△CGF的面积为；

（3）设四边形CDEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值．

Answer 1

    解：（1）如图1：

（2）如图2：

，

由折叠的性质，得∠C=∠A=∠COA=45°，AF=BE=CF=t，

S_△CFG=CF•FG=t²=，

解得t=，t=﹣（不符合题意，舍）；

（3）分两种情况讨论：

①当0＜t≤3时，如图2：

四边形DCEF落在第一象限内的图形是△DFG，

∴S=t²，

∵S=t²，在t＞0时，S随t增大而增大，

∴t=3时，S_最大=；

②当3＜t＜6时，如图2：

，

四边形DCEF落在第一象限内的图形是四边形DHOF，

∴S_{四边形CHOF}=S_△CGF﹣S_△HGO，

∴S=t²﹣2（2t﹣6）²

=﹣t²+12t﹣18

=﹣（t﹣4）²+6，

∵a=﹣＜0，

∴S有最大值，

∴当t=4时，S_最大=6，

综上所述，当S=4时，S最大值为6．

点评：  本题考查了一次函数综合题，利用了轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，三角形的面积公式，图形割补法是求面积的重要方法，分类讨论是解题关键，以防遗漏．