Question

19．如图，抛物线y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B，作垂直于x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交抛物线于N，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 首先令y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2=0，求出B点的坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意求出直线AB的解析式，然后根据点N在抛物线上，点M在直线AB上，求出点N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），点M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），列出MN关于t的一元二次方程，结合二次函数的性质，求出最值．

解答 解：令y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2=0，
则2x2-7x-4=0，
解得x=-$\frac{1}{2}$或x=4，
∴点B坐标为（4，0），
令x=0，则y=2，
则点A的坐标为（0，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
又知点N在抛物线上，点M在直线AB上，
则点N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），点M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），
MN=-t²+$\frac{7}{2}$t+2-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
当t=2时，MN有最大值为4．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是求出直线AB的解析式，此题难度不大．