Question

1．阅读下列材料：因为
$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）$，
$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$，
$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$，
$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2013}-\frac{1}{2015}）$，…
所以$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2015}）$．
解答下列问题：
（1）在和式$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…中，第五项为$\frac{1}{9×11}$，第n项为$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．
（2）利用上述结论计算：
$\frac{1}{x（x+2）}$+$\frac{1}{（x+2）（x+4）}$+$\frac{1}{（x+4）（x+6）}$+…+$\frac{1}{（x+2014）（x+2016）}$．

Answer 1

分析 （1）由已知等式得出第n项为$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，据此可得；
（2）利用裂项法得出原式=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+4}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x+4}$-$\frac{1}{x+6}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x+2014}$-$\frac{1}{x+2016}$），进一步运算可得．

解答 解：（1）∵第1项$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{（2×1-1）（2×1+1）}$，
第2项$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{（2×2-1）（2×2+1）}$，
第3项$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{（2×3-1）（2×3+1）}$，
∴第5项为$\frac{1}{（2×5-1）（2×5+1）}$=$\frac{1}{9×11}$，
第n项为$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
故答案为：$\frac{1}{9×11}$，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$；

（2）原式=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+4}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x+4}$-$\frac{1}{x+6}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x+2014}$-$\frac{1}{x+2016}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+4}$+$\frac{1}{x+4}$-$\frac{1}{x+6}$+…+$\frac{1}{x+2014}$-$\frac{1}{x+2016}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2016}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{x+2016-x}{x（x+2016）}$
=$\frac{1008}{x（x+2016）}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律和分式的化简，根据题意得出第n项为$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$且$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）是解题的关键．