Question

【题目】如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴交于点，点是抛物线上一动点， 联结交线段于点．

（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

（2）求的正切值；

（3）当与相似时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）2；（3）点的坐标为或

【解析】

（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；

（2）如图，过点B作BH⊥AC于点H，构造等腰直角△ABH和直角△BCH，利用勾股定理和两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而利用锐角三角函数的定义求得答案；

（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，构造直角△DOK，设D（x，x22x＋3），则K（x，0）．并由题意知点D位于第二象限．由于∠BAC是公共角，所以当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：

①∠AOD＝∠ABC．则tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的坐标．

②∠AOD＝∠ACB．则tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的坐标．

（1）解：设抛物线的解析式为

抛物线过点

解得

这条抛物线的解析式为

顶点坐标为

（2）解：过点作，垂足为

在中，

（3）解：过点作轴，垂足为

设，则，并由题意可得点在第二象限

是公共角

当与相似时

存在以下两种可能

①

解得，（舍去）

②

解得，（舍去）

综上所述：当与相似时，

点的坐标为或