题目内容
已知：AB是⊙O的直径，AP、AQ是⊙O的两条弦，如图1，经过B作⊙O的切线l，分别交直线AP、AQ于点M、N．可以得出结论AP•AM=AQ•AN成立．
（1）若将直线l向上平行移动，使直线l与⊙O相交，如图2所示，其他条件不变，上述结论是否成立？若成立，写出证明，若不成立，说明理由；
（2）若将直线l继续向上平行移动，使直线l与⊙O相离，其他条件不变，请在图3上画出符合条件的图形，上述结论成立吗？若成立，写出证明；若不成立，说明理由．
分析：（1）连接BP，BQ，根据直径所对的圆周角是直角，得到∠APB=∠AQB=90°，直线L在平移的过程中与AB垂直，可以证明△AMC∽△ABP和△ANC∽△ABQ，利用相似三角形对应边的比相等，得到线段乘积的形式，然后用等量代换可以得到结论．（2）根据题意画出图形，连接BP，BQ，运用两角对应相等可以证明两组相似三角形，然后利用相似三角形对应边的比相等进行证明．
解答：
解：（1）如图2：把直线L向上平移与AB相交于点C，连接PB，QB，
∵AB是直径，∴∠APB=90°，
又∠ACM=90°，∴∠APB=∠ACM，
∵∠MAC=∠BAP，
∴△AMC∽△ABP，∴
=
，∴AM•AP=AB•AC．
同理可证：△ANC∽△ABQ，∴
=
，∴AN•AQ=AB•AC．
因此：AP•AM=AQ•AN．
（2）如图3：结论成立．
连接BP，BQ，∵∠APB=∠ACM=90°，∠BAP=∠MAC，
∴△ABP∽△AMC，∴
=
，∴AP•AM=AB•AC．
同理可证：△ABQ∽△ANC，∴
=
，∴AQ•AN=AB•AC．
因此：AP•AM=AQ•AN．
解：（1）如图2：把直线L向上平移与AB相交于点C，连接PB，QB，∵AB是直径，∴∠APB=90°，
又∠ACM=90°，∴∠APB=∠ACM，
∵∠MAC=∠BAP，
∴△AMC∽△ABP，∴
| AM |
| AB |
| AC |
| AP |
同理可证：△ANC∽△ABQ，∴
| AN |
| AB |
| AC |
| AQ |
因此：AP•AM=AQ•AN．
（2）如图3：结论成立．
连接BP，BQ，∵∠APB=∠ACM=90°，∠BAP=∠MAC，
∴△ABP∽△AMC，∴
| AB |
| AM |
| AP |
| AC |
同理可证：△ABQ∽△ANC，∴
| AQ |
| AC |
| AB |
| AN |
因此：AP•AM=AQ•AN．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）直线L在平移的过程中，与AB垂直，以及直径所对的圆周角是直角，可以得到两角对应相等，证明三角形相似，再用相似三角形对应边的比相等证明．（2）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同．
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