Question

如图，两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠ABC=30°，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,等腰直角三角形

专题：证明题,压轴题,探究型

分析：△EMC的形状是等腰直角三角形，求出∠DAB=90°，AD=AB，推出AM⊥BD，AM=BM=DM，求出∠MBC=∠MAE，BM=AM，证△BCM≌△AEM，推出EM=CM，∠3=∠2，求出∠1+∠3=90°即可．

解答：解：△EMC的形状是等腰直角三角形，
理由是：
连接AM，
∵∠8=30°，∠9=60°，
∴∠DAB=180°-30°-60°=90°，
∵M为BD中点，AD=AB（已知两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起），
∴AM⊥BD（等腰三角形底边的高也平分底边）
AM=BM=DM（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）
∴∠5=∠6=

1

2

（180°-90°）=45°，∠4=∠BDA=45°，
∵∠7=30°，
∴∠MBC=45°+30°=75°，
同理∠MAE=75°=∠MBC，
在△BCM和△AEM中

BM=AM ∠MBC=∠MAE BC=AE

，
∴△BCM≌△AEM（SAS），
∴EM=CM，∠3=∠2，
∵AM⊥BD，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴△EMC是等腰直角三角形．

点评：本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．