Question

10．如图，已知△ABC为直角三角形，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）若∠ACB=90°，求证：四边形AECF是正方形．

Answer 1

分析 （1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；
（2）根据全等到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形，即可得出结论．

解答 解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，
∵CF∥AB
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，
在△AED与△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠FCA}\\{AD=CD}\\{∠CFD=∠AED}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC=EA，FC=FA，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四边形AECF为菱形，
∴EF⊥AC，
∴∠EDC=90°，
∴∠ACB=∠EDA=90°，
∴BC∥DE，
∴∠B=∠AED，
设∠B=α，
∴∠AED=α，
∵CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠B=∠BCE，
∴∠CEA=∠B+∠BCE=2α，
∵∠EDA=∠ACF，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∵BC∥EF，
∴∠BCE=∠CEF，
∵∠CEF=∠CFE，
∴∠CFD+BCE=90°，
∴2∠CFD=90°，
∴∠CFD=45°，
∴CFA=2∠CFD=90°，
∴四边形AECF是正方形．

点评 本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图能得到线段的垂直平分线．