题目内容
已知菱形ABCD，AB=4，∠ADC=120°，点M在射线AB上，BM=1，∠DMN=60°，射线MN交射线BC于N，则BN= ．
考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质
专题：分类讨论
分析：本题需要分两种情况讨论，①点M在线段AB上，②点M在线段AB的延长线上，根据平行线的性质及解直角三角形的知识，结合相似三角形的性质，分别解出即可．
解答：解：①当点M在线段AB上时，
过点D作DQ⊥AB于点Q，连接BD，延长DM、CB交于一点P，
则AQ=BQ=2，QM=BM=1，DQ=2
，
在Rt△DQM中，DM=
=
，
∵BC∥AD，
∴
=
=
=
，
解得：BP=
，PM=
，
∵∠DMN=60°，∠DBC=60°，
∴∠PMN=120°，∠PBD=120°，
∴△PMN∽△PBD，
∴
=
，即
=
，
解得：BN=3；
②当点M在AB延长线上时，
过点D作DQ⊥AB于点Q，连接BD，
则DQ=2
，BD=4，DM=
=
，
∵BP∥AD，
∴
=
=
，
=
=
，
∴BP=
，
又∵MP+PD=DM=
，
∴MP=
，PD=
，
∵∠PMN=∠DMN=60°，∠PBD=∠CBD=60°，
∴△PBD∽△PMN，
∴
=
，即
=
，
解得：BN=5．
综上可得BN=3或5．
故答案为：3或5．
过点D作DQ⊥AB于点Q，连接BD，延长DM、CB交于一点P，
则AQ=BQ=2，QM=BM=1，DQ=2
| 3 |
在Rt△DQM中，DM=
(2
|
| 13 |
∵BC∥AD，
∴
| BP |
| AD |
| PM |
| DM |
| BM |
| AM |
| 1 |
| 3 |
解得：BP=
| 4 |
| 3 |
| ||
| 3 |
∵∠DMN=60°，∠DBC=60°，
∴∠PMN=120°，∠PBD=120°，
∴△PMN∽△PBD，
∴
| PN |
| PD |
| PM |
| PB |
| ||||||
|
| ||||
|
解得：BN=3；
②当点M在AB延长线上时，
过点D作DQ⊥AB于点Q，连接BD，
则DQ=2
| 3 |
| DQ2+QM2 |
| 21 |
∵BP∥AD，
∴
| MP |
| PD |
| BM |
| AB |
| 1 |
| 4 |
| BP |
| AD |
| MB |
| AM |
| 1 |
| 5 |
∴BP=
| 4 |
| 5 |
又∵MP+PD=DM=
| 21 |
∴MP=
| ||
| 5 |
4
| ||
| 5 |
∵∠PMN=∠DMN=60°，∠PBD=∠CBD=60°，
∴△PBD∽△PMN，
∴
| PM |
| PB |
| PN |
| PD |
| ||||
|
BN-
| ||||
|
解得：BN=5．
综上可得BN=3或5．
故答案为：3或5．
点评：本题考查了菱形的性质，涉及了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，难度较大，注意构造相似三角形，利用对应边长比例的知识求解．
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| B、4：1 | ||
C、
| ||
| D、1：2 |
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