Question

4．（1）如图1，已知AD平分∠BAC，若DB=DC，求证：∠ABD+∠ACD=180°；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=8，求AB-AC的值．

Answer 1

分析 （1）如图（1），作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，利用全等三角形的判定定理证明△DFC≌△DEB，再由全等三角形的性质可得结论．
（2）如图（2），连接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BD与EB的关系即可解决问题．

解答 （1）证明：如图（1），作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵DB=DC，
在Rt△DFC和Rt△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴△Rt△DFC≌Rt△DEB
∴∠FCD=∠B，
∵∠FCD+∠ACD=180°，
∴∠B+∠ACD=180°；

（2）解：如图（2），连接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEB}\\{∠FCD=∠B}\\{DC=DB}\end{array}\right.$
∴△DFC≌△DEB，
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴AB-AC=（AE+BE）-（AF-CF）=2BE，
在Rt△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=60°，BD=8，
∴BE=4，
∴AB-AC=2×4=8．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．