Question

已知AB是等腰Rt△ABC的斜边，AD是∠BAC的角平分线，求证：AC+CD=AB．

Answer 1

考点：角平分线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：作出图形，过点D作DE⊥AB于E，判断出△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BE=DE，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后利用“HL”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，再根据AE+BE=AB等量代换即可得证．

解答：证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE=DE，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴CD=DE，
∴CD=BE，
在△ACD和△AED中，

AD=AD CD=DE

，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，
∵AE+BE=AB，
∴AC+CD=AB．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．