Question

阅读与理解
在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）经过τ变换得到点P′（x′，y′），该变换记为τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

（a，b为常数）．
例如，当a=1，且b=1时，τ（-2，3）=（1×（-2）+1×3，1×（-2）-1×3）=（1，-5）．
（1）当a=1，且b=-2时，τ（0，1）=

 

；
（2）若τ（1，2）=（0，-2），则a=

 

，b=

 

；
（3）设点P（x，y）是直线y=2x上的任意一点，点P经过变换τ得到点P′（x′，y′）．若点P与点P′关于原点对称，求a和b的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据该变换记为τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

，代入a，b的值，可得答案；
（2）根据该变换记为τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

，可得关于a、b的二元一次方程组，根据解方程组，可得答案；
（3）根据点P与点P′关于原点对称，可得τ（x，y）=（-x，-y），根据点P的位置，可得P′点的坐标，根据τ（x，y）=（x′，y′），可得方程组，根据解方程组，可得答案．

解答：解：（1）当a=1，且b=-2时，τ（0，1）=（1×0+（-2）×1，1×0-（-2）×1）=（-2，2），
故答案为：（-2，2）；
（2）τ（1，2）=（a×1+2b，a×1-2b）=（0，-2），

a+2b=0 a-2b=-2

，解得

a=-1 b= 1 2

．
故答案为：a=-1，b=

1

2

；
（3）∵点P（x，y）经过变换τ得到的对应点P′（x′，y′）与点P关于原点对称，
∴τ（x，y）=（-x，-y）．
∵点P（x，y）在直线y=2x上，
∴τ（x，2x）=（-x，-2x），

-x=ax+2bx -2x=ax-2bx

即 

(-1-a-2b)x=0 (-2-a+2b)x=0

．
∵x为任意的实数，
∴

-1-a-2b=0 -2-a+2b=0

，解得

a=- 3 2 b= 1 4

∴a=-

3

2

，b=

1

4

．

点评：本题考查了一次函数综合题，利用了点P（x，y）经过τ变换得到点P′（x′，y′），该变换记为τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

（a，b为常数）．