题目内容
3．
如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与 y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻析，点A落到C点，过点B的抛物线y=-x2+bx+c与直线BC交于点D（3，-4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形B，O，H，P是平行四边形时，试求动点P的坐标．
分析 （1）由直线y=2x+2可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；
（2）如图1，2，由（1）的解析式设M（a，-a2+a+2），当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）设P（b，-b2+b+2），H（b，-2b+2）．由平行四边形的性质建立方程求出b的值就可以求出结论．
解答 解：（1）∵y=2x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴B（0，2）．
当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0）．
∵抛物线y=-x2+bx+c过点B（0，2），D（3，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{-4=-9+3b+c}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x2+x+2；
设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4=3k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为：y=-2x+2；
（2）存在．
如图1，设M（a，-a2+a+2）．
∵MN垂直于x轴，
∴MN=-a2+a+2，ON=a．
∵y=-2x+2，
∴y=0时，x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1．
∵B（0，2），
∴OB=2．
当△BOC∽△MNO时，
∴$\frac{BO}{MN}$=$\frac{OC}{ON}$，
∴$\frac{2}{-{a}^{2}+a+2}$=$\frac{1}{a}$，
解得：a1=1，a2=-2（舍去）
∴M（1，2）；
如图2，当△BOC∽△ONM时，
$\frac{BO}{ON}$=$\frac{OC}{MN}$，
∴$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{-{a}^{2}+a+2}$，
∴a=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$或$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$（舍去），
∴M（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）．
∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）；
（3）设P（b，-b2+b+2），H（b，-2b+2）．
如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，
∴BO=PH=2．
∵PH=-b2+b+2+2b-2=-b2+3b．
∴2=-b2+3b
∴b1=1，b2=2．
当b=1时，P（1，2），
当b=2时，P（2，0）
∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．
点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，平行四边形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，分别以AB、AD为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）| A． | $\frac{25}{4}$π-12 | B． | $\frac{16}{3}$π-3 | C． | $\frac{9}{2}$π-6 | D． | $\frac{25}{8}$π-6 |
如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、An-1PnAnBn都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、An-1An都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，并已知B1（-1，1）．
在矩形ABCD中，AB=1，AD=$\sqrt{3}$，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF与EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③AC=HC；④BE=3DE，正确的是（ ）