如图.D.E分别是△ABC的边BC和AB上的点.△ABD与△ACD的周长相等.△CAE与△CBE的周长相等.设BC=a.AC=b.AB=c.给出以下几个结论:①如果AD是BC边中线.那么CE是AB边中线,②AE的长度为$\frac{c+a-b}{2}$,③BD的长度为$\frac{b+a-c}{2}$,④若∠BAC=90°.△ABC的面积为S.则S=AE•BD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等，设BC=a，AC=b，AB=c，给出以下几个结论：
①如果AD是BC边中线，那么CE是AB边中线；
②AE的长度为$\frac{c+a-b}{2}$；
③BD的长度为$\frac{b+a-c}{2}$；
④若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，则S=AE•BD．
其中正确的结论是②③④（将正确结论的序号都填上）

分析由中线的定义，可得到AB=AC，但AB=AC时未必有AC=BC，可判断①；△ABD与△ACD的周长相等，我们可得出：AB+BD=AC+CD，等式的左右边正好是三角形ABC周长的一半，有AB，AC的值，那么就能求出BD的长了，同理可求出AE的长，可判断②③；把AE和BD代入计算，结合勾股定理可求得S，可判断④；则可得出答案．

解答解：
当AD是BC边中线时，则BD=CD，
∵△ABD与△ACD的周长相等，
∴AB=AC，
但此时，不能得出AC=BC，即不能得出CE是AB的中线，
故①不正确；
∵△ABD与△ACD的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c，
∴AB+BD+AD=AC+CD+AD，
∴AB+BD=AC+CD，
∵AB+BD+CD+AC=a+b+c，
∴AB+BD=AC+CD=$\frac{a+b+c}{2}$．
∴BD=$\frac{a+b+c}{2}$-c=$\frac{a+b-c}{2}$，
同理AE=$\frac{a+c-b}{2}$，
故②③都正确；
当∠BAC=90°时，则b²+c²=a²，
∴AE•BE=$\frac{a+c-b}{2}$×$\frac{a+b-c}{2}$=$\frac{1}{4}$[a-（c-b）][a-（c-b）]=$\frac{1}{4}$[a²-（c-b）²]=$\frac{1}{4}$[a²-（c²+b²-2bc）]=$\frac{1}{4}$×2bc=$\frac{1}{2}$bc=S，
故④正确；
综上可知正确的结论②③④，
故答案为：②③④．

点评本题为三角形的综合应用，主要考查了三角形各边之间的关系问题及三角形的面积，在列式子的时候要注意找出等量关系，难度适中．

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