Question

如图，圆O的半径为r．
（1）在图①中，画出圆O的内接正△ABC，简要写出画法；求出这个正三角形的周长．
（2）在图②中，画出圆O的内接矩形ABCD，简要写出画法；若设AB=x，则矩形的周长为

 

．
（3）如图③，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并探究L是否有最大值，若有，请指出x为何值时，L取得最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出；
（2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，顺次连接矩形的四个顶点即可作出；
（3）连接AC，利用相似三角形的性质求得DG的长，则BC和EF即可利用x和r表示出来，从而得到L关于x的函数关系式，利用二次函数的性质求解．

解答：解：（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出．
△ABC就是所求的三角形；
（2）在直角△ABD中，AD=

AC2-AB2

=

4r2-x2

，
则BC=AD=

4r2-x2

，CD=AB=x．
则矩形的周长是：2x+2

4r2-x2

，
故答案是：2x+2

4r2-x2

；
（3）连接AC，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
又∵CG⊥AD于点G．
∴CD²=DG•AD，
∴DG=

CD2

AD

=

x2

2r

，
∴BC=EF=AD-2DG=2r-

x2

r

．
则L=4x+4r-

2x2

r

．
当x=-

4

- 4 r

=r时，L取得最大值．最大值是：6r．

点评：此题考查了正多边形和圆的知识．题目难度不大，利用x和半径r表示出BD和EF的长度是关键．