Question

8．在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=30°，P是∠ABC的平分线上一点，∠PCB=10°，求∠PAB．

Answer 1

分析 在BA延长线上取一点D，使BD=BC，连DP，DC．根据BP平分∠ABC，可知C点与点D关于BP对称，得到PD=PC，根据等腰三角形的性质得到∠PDC=∠PCD，∠BDC=∠BCD，等量代换得到∠ADP=∠BCP，根据外角的性质得到∠DPC=2（∠PBC+∠PCB）=60°，推出△PDC是正三角形，得到PC=DC，根据等腰三角形的判定得到AC=PC，根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：在BA延长线上取一点D，使BD=BC，连DP，DC．
∵BP平分∠ABC，可知C点与点D关于BP对称，
∴PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠ADP=∠BCP，
∵∠DPC=2（∠PBC+∠PCB）=60°，
∴△PDC是正三角形，
∴PC=DC，
在△ACD中，
∵∠ADC=70°=∠BAC，∴AC=DC，∴AC=PC，
在△PCA中，
∵∠PCA=20°，
∴∠PAC=80°．
∴∠PAB=∠BAC-∠PCA=110°-80°=30°．

点评 本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．