Question

如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．

（1）求PQ的长；

（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）连接OQ，

∵PN与⊙O相切于点Q，∴OQ⊥PN，即∠OQP=90°.

∵OP=10，OQ=6，∴PQ==8（cm）．

（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C.

∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，

∴PA=5t，PB=4t.

∵PO=10，PQ=8，∴.

∵∠P=∠P，∴△PAB∽△POQ.∴∠PBA=∠PQO=90°.

∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，∴四边形OCBQ为矩形．∴BQ=OC．

∵⊙O的半径为6，∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切．

①当AB运动到如图1所示的位置，BQ=PQ－PB=8－4t，

∵BQ=6，∴8－4t=6.∴t=0.5（s）．

②当AB运动到如图2所示的位置，BQ=PB﹣PQ=4t－8，

∵BQ=6，∴4t－8=6.∴t=3.5（s）．

∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．

【解析】（1）根据切线的性质得∠OQP=90°，在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值；（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C．直线AB与⊙O相切，则△PAB∽△POQ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．