题目内容
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201306/106/a65054c8.png)
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)求弦AC的长;
(3)求图中阴影部分的面积.
分析:(1)如图,连接OA,欲证明AAB为⊙O的切线,只需证明AB⊥OA即可;
(2)如图,连接AD,构建直角△ADC,利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4,然后利用勾股定理来求弦AC的长度;
(3)根据图示知,图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积.
(2)如图,连接AD,构建直角△ADC,利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4,然后利用勾股定理来求弦AC的长度;
(3)根据图示知,图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积.
解答:
(1)证明:如图,连接OA.
∵AB=AC,∠ABC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=30°.
∴∠AOB=2∠ACB=60°,
∴在△ABO中,∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°,即AB⊥OA,
又∵OA是⊙O的半径,
∴AB为⊙O的切线;
(2)解:如图,连接AD.
∵CD是⊙O的直径,
∴∠DAC=90°.
∵由(1)知,∠ACB=30°,
∴AD=
CD=4,
则根据勾股定理知AC=
=4
,即弦AC的长是4
;
(3)解:由(2)知,在△ADC中,∠DAC=90°,AD=4,AC=4
,则S△ADC=
AD•AC=
×4×4
=8
.
∵点O是△ADC斜边上的中点,
∴S△AOC=
S△ADC=4
.
根据图示知,S阴影=S扇形ADO+S△AOC=
+4
=
+4
,即图中阴影部分的面积是
+4
.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201306/108/f37be35a.png)
∵AB=AC,∠ABC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=30°.
∴∠AOB=2∠ACB=60°,
∴在△ABO中,∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°,即AB⊥OA,
又∵OA是⊙O的半径,
∴AB为⊙O的切线;
(2)解:如图,连接AD.
∵CD是⊙O的直径,
∴∠DAC=90°.
∵由(1)知,∠ACB=30°,
∴AD=
1 |
2 |
则根据勾股定理知AC=
CD2-AD2 |
3 |
3 |
(3)解:由(2)知,在△ADC中,∠DAC=90°,AD=4,AC=4
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
∵点O是△ADC斜边上的中点,
∴S△AOC=
1 |
2 |
3 |
根据图示知,S阴影=S扇形ADO+S△AOC=
60π×42 |
360 |
3 |
8π |
3 |
3 |
8π |
3 |
3 |
点评:本题考查了切线的判定,圆周角定理以及扇形面积的计算.解答(3)时,求△AOC的面积的面积的技巧性在于利用了“等边同高”三角形的面积相等的性质.
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