Question

如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

Answer 1

分析：（1）PN与⊙O相切于点Q，OQ⊥PN，即∠OQP=90°，在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值；
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C．直线AB与⊙O相切，则△PAB∽△POQ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．

解答：解：（1）连接OQ，
∵PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PN，
即∠OQP=90°，（2分）
∵OP=10，OQ=6，
∴PQ=

102-62

=8（cm）．（3分）

（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，
∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PQ=8，
∴

PA

PO

=

PB

PQ

，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PQO=90°，（4分）
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四边形OCBQ为矩形．
∴BQ=OC．
∵⊙O的半径为6，
∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切．
①当AB运动到如图1所示的位置，
BQ=PQ-PB=8-4t，
∵BQ=6，
∴8-4t=6，
∴t=0.5（s）．（6分）
②当AB运动到如图2所示的位置，
BQ=PB-PQ=4t-8，
∵BQ=6，
∴4t-8=6，
∴t=3.5（s）．
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．（8分）

点评：本题主要考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．