Question

如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，弦AB=8，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（　　）

• A、0.6
• B、0.8
• C、0.5
• D、1.2

Answer 1

分析：连接OA、OB，由于OM⊥AB，根据垂径定理易证得∠BOM=

1

2

∠AOB，而由圆周角定理可得∠BCD=

1

2

∠AOB=∠BOM，因此∠CBD=∠OBM，只需求得∠OBM的正弦值即可；在Rt△OBM中，由垂径定理可得BM=4，已知⊙O的半径OB=5，由勾股定理可求得OM=3，即可求出∠OBM即∠CBD得正弦值，由此得解．

解答：解：连接OA、OB；
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=4，∠AOM=∠BOM=

1

2

∠AOB；
又∵∠BCD=

1

2

∠AOB，
∴∠BOM=∠BCD，∠OBM=∠CBD；
在Rt△OBM中，OB=5，BM=4，由勾股定理得OM=3；
∴sin∠OBM=

OM

OB

=

3

5

，sin∠CBD=sin∠OBM=

3

5

；
故选A．

点评：此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理的综合应用能力，能够根据已知条件找到∠CBD=∠OBM，是解决问题的关键．