如图.在△ABC中.AB=AC=10cm.BD⊥AC于点D.且BD=8cm．点M从点A出发.沿AC的方向匀速运动.速度为2cm/秒,同时直线PQ由点B出发.沿BA的方向匀速运动.速度为1cm/秒.运动过程中始终保持PQ∥AC.直线PQ交AB于点P.交BC于点Q.交BD于点F．连接PM.设运动时间为t秒．(1)当t为何值时.四边形PQCM是平行四边形?(2)设四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/秒；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/秒，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
（2）设四边形PQCM的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式．

分析（1）假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；
（2）根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知三角形BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE=DF=8-t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式．

解答解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，
∴AP：AB=AM：AC，
∵AB=AC，
∴AP=AM，即10-t=2t，
解得t=$\frac{10}{3}$，
∴当t=$\frac{10}{3}$s时，四边形PQCM是平行四边形；

（2）∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ为等腰三角形，PQ=PB=t，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{BF}{8}$=$\frac{t}{10}$，
解得BF=$\frac{4}{5}$t，
∴FD=BD-BF=8-$\frac{4}{5}$t，
又∵MC=AC-AM=10-2t，
∴y=$\frac{1}{2}$（PQ+MC）•FD=$\frac{1}{2}$（t+10-2t）（8-$\frac{4}{5}$t）=$\frac{2}{5}$t²-8t+40．

点评本题综合考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，第二问的解题关键是根据相似三角形的高之比等于对应边之比得出比例，进而求出关系式．

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